Jak zamienić opis zależności w równanie?
Gdy dane i niewiadome są już uporządkowane, trzeba zapisać relację między nimi w języku matematyki. Równanie nie jest przypadkowym działaniem, lecz krótkim zapisem informacji, że dwie wartości mają być sobie równe. Najłatwiej zacząć od zdania opisującego sytuację, a następnie zastąpić jego fragmenty odpowiednimi wyrażeniami.
Pomaga pytanie: co w treści jest równe czemu? Czasem odpowiedź wynika z porównania dwóch sposobów obliczenia tej samej wielkości. Jeśli liczba wszystkich elementów jest sumą dwóch części, można zapisać relację w postaci część pierwsza + część druga = całość. Jeżeli całkowity koszt składa się z ceny kilku jednakowych produktów, naturalny będzie zapis liczba produktów × cena jednego produktu = koszt całkowity. Równanie powinno odzwierciedlać właśnie taką strukturę, a nie kolejność liczb występujących w opowiadaniu.
Warto przeprowadzić tłumaczenie etapami. Najpierw zaznacz w zdaniu słowa opisujące działania, takie jak „razem”, „pozostało”, „w dwóch równych grupach”, „każdy kosztuje” czy „po zmianie”. Potem zastąp znane wielkości liczbami lub symbolami, a nieznaną — wcześniej ustalonym oznaczeniem. Na końcu połącz obie strony znakiem równości. Przykładowo, jeżeli po oddaniu 7 książek w bibliotece zostało 25 książek, liczba początkowa może być oznaczona przez x. Zdanie „po zabraniu 7 zostało 25” prowadzi do równania x − 7 = 25. Zapis nie opisuje całej historii słowo po słowie, lecz zachowuje jej matematyczny sens.
Trzeba uważać na kierunek relacji. Sformułowanie „po zwiększeniu liczby o 9 otrzymano 31” oznacza x + 9 = 31, natomiast „liczba zmniejszona o 9 wynosi 31” prowadzi do takiego samego zapisu. Inaczej działa zdanie „od liczby 31 odjęto pewną liczbę i otrzymano 9”: wtedy właściwa zależność to 31 − x = 9. Oba równania mogą dotyczyć podobnych liczb, ale przedstawiają różne układy działań. Dlatego przed zapisaniem warto przeczytać równanie od lewej do prawej i sprawdzić, czy odpowiada kolejności opisanej sytuacji.
Szczególnej uwagi wymagają zadania, w których występuje zmiana wartości. Dobrym sposobem jest zapisanie stanu początkowego, zmiany i stanu końcowego. Schemat może wyglądać tak: początek + przyrost = koniec albo początek − ubytek = koniec. Przy zmianie procentowej najpierw trzeba ustalić, do której wartości odnosi się procent. Jeśli liczba zwiększa się o 20%, nowy stan nie jest równy 20%x, lecz x + 0,2x, czyli 1,2x. Taki zapis pokazuje, że końcowa wartość obejmuje zarówno pierwotną wielkość, jak i jej przyrost.
Nie każda treść prowadzi od razu do jednego równania. W zadaniu wieloetapowym można najpierw zapisać zależność pomocniczą, a dopiero później wstawić ją do głównej. Jeśli jedna osoba ma o 4 punkty więcej niż druga, a razem uzyskały 26 punktów, oznaczenie wyniku drugiej osoby przez x daje równanie x + (x + 4) = 26. Nawias pokazuje, że dodatkowa informacja dotyczy całej wartości wyrażenia przypisanej pierwszej osobie.
Po zapisaniu równania wykonaj kontrolę sensu. Sprawdź, czy obie strony opisują wielkości tego samego rodzaju, czy działania odpowiadają treści i czy każda informacja została użyta we właściwym miejscu. Jeśli po rozwiązaniu otrzymasz wartość, podstaw ją z powrotem do równania. Zgodność obu stron jest mocnym potwierdzeniem, że opis słowny został poprawnie zamieniony na zapis matematyczny.
Dlaczego jednostki trzeba uporządkować przed obliczeniami?
Jednostki nie są dodatkiem do liczby, lecz częścią informacji o wielkości. Zapis 5 bez dopowiedzenia może oznaczać 5 metrów, 5 minut albo 5 kilogramów. Dopiero zapis 5 m wskazuje, co naprawdę opisuje liczba. Dlatego uporządkowanie jednostek przed obliczeniami chroni przed działaniem na wielkościach, których nie można sensownie połączyć.
Najważniejsza zasada brzmi: w jednym działaniu jednostki muszą być zgodne albo powinny tworzyć poprawną jednostkę wyniku. Nie dodamy 3 metrów do 40 centymetrów, dopóki nie sprowadzimy obu długości do tej samej miary. Podobnie nie obliczymy czasu przejazdu, dzieląc odległość wyrażoną w kilometrach przez prędkość podaną w metrach na sekundę bez wcześniejszego przeliczenia jednej z tych wartości.
Przed rozpoczęciem rachunków warto wypisać dane w jednolitym układzie. Można przyjąć jednostkę wskazaną w pytaniu albo taką, która ułatwia dalsze działania. Jeśli pytanie dotyczy długości w metrach, wygodnie jest zamienić wszystkie długości właśnie na metry. Gdy wynik ma być podany w minutach, czas zapisany w godzinach należy przeliczyć odpowiednio wcześniej, a nie dopiero po wykonaniu przypadkowych działań.
- Długość: 1 m = 100 cm, 1 km = 1000 m.
- Masa: 1 kg = 1000 g.
- Czas: 1 h = 60 min, 1 min = 60 s.
- Pojemność: 1 l = 1000 ml.
Szczególnej uwagi wymagają jednostki pola i objętości. Przeliczenie pola nie polega na użyciu tego samego mnożnika co przy długości. Skoro 1 m = 100 cm, to 1 m² = 10 000 cm², ponieważ przelicznik działa w dwóch wymiarach. Analogicznie 1 m³ = 1 000 000 cm³, gdyż sześcian obejmuje trzy wymiary. To częste źródło błędów w zadaniach o powierzchni podłogi, działki, pudełka czy zbiornika.
Jednostki pomagają również sprawdzić, czy wybrane działanie ma sens. Przy obliczaniu pola prostokąta mnożymy długość przez szerokość, więc otrzymujemy jednostkę kwadratową, na przykład cm². Przy obliczaniu prędkości dzielimy drogę przez czas, a wynik ma jednostkę km/h albo m/s. Jeżeli po rachunku wychodzi cm zamiast cm² lub godziny zamiast km/h, jest to sygnał, że trzeba wrócić do zapisu.
Warto rozróżnić dwa rodzaje przeliczania. Czasem zamieniamy jednostkę, zachowując tę samą wielkość, na przykład 2,5 kg na 2500 g. Innym razem jednostka zmienia się w wyniku działania, jak w obliczeniu ceny za jeden kilogram, powierzchni albo średniego zużycia paliwa. Nie należy wtedy mechanicznie dopisywać jednostki z treści; trzeba ustalić, co oznacza wykonane działanie.
Dobrym nawykiem jest zapisywanie jednostek przy każdym ważnym etapie, a nie tylko przy końcowej odpowiedzi. Przykładowo: 240 cm : 3 = 80 cm. Taki zapis pokazuje, że wynik nadal dotyczy długości. Przy mnożeniu: 6 m · 4 m = 24 m². Jednostki stają się wtedy narzędziem kontroli, a nie ozdobą zapisu.
Na końcu należy sprawdzić nie tylko samą liczbę, lecz także jej postać. Wynik 0,75 godziny może być poprawny, ale w zadaniu dla ucznia czytelniesze okaże się 45 minut. Z kolei 3500 g można zapisać jako 3,5 kg, jeśli taka forma lepiej pasuje do pytania. Ostateczna odpowiedź powinna mieć jednostkę zgodną z poleceniem i być podana w formie łatwej do odczytania.
Brak produktów w koszyku.